Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = e^{x} + 1$ . Kemudian $d u = e^{x} d x$ sehingga $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = e^{x} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{x} + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $e^{x}$ dan $0$ .

$e^{x}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = e^{x} + 1$ .

$u_{lower} = e^{0} + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = e^{x} + 1$ .

$u_{upper} = e^{1} + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

$u_{upper} = e + 1$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e + 1$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{2}^{e + 1} \frac{1}{u} d u$

Langkah 2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{e + 1}$

Langkah 3

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $e + 1$ dan pada $2$ .

$(\ln (| e + 1 |)) - \ln (| 2 |)$

Langkah 4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e + 1 |}{| 2 |})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

$e + 1$ mendekati $3.71828182$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\ln (\frac{e + 1}{| 2 |})$

Langkah 5.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

Bentuk Desimal:

$0.62011450 \dots$