Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (3 x) \sin (\sin (3 x)) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = 3 x$ . Kemudian $d u_{1} = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Langkah 1.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Langkah 1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) \frac{1}{3} d u_{1}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1})}{3} \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{\cos (u_{1})}{3}$ dan $\sin (\sin (u_{1}))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1}))}{3} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $u_{1}$ di $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Langkah 4.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $u_{1}$ di $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 4.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 5

Integral dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} - \cos (u_{2})]_{0}^{1}$

Langkah 6

Evaluasi $- \cos (u_{2})$ pada $1$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{3} ((- \cos (1)) + \cos (0))$

Langkah 7

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (1) + 1)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $\cos (1)$ .

$\frac{1}{3} (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

Langkah 8.2

Kalikan $- 1$ dengan $0.5403023$ .

$\frac{1}{3} (- 0.5403023 + 1)$

Langkah 8.3

Tambahkan $- 0.5403023$ dan $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.45969769$

Langkah 8.4

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $0.45969769$ .

$\frac{0.45969769}{3}$

Langkah 8.5

Bagilah $0.45969769$ dengan $3$ .

$0.15323256$