Kalkulus Contoh

$\int \ln (\frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1}) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = x + 1$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}})$ dan $d v = 1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int u_{1} (- \frac{u_{1} - 4}{(2 u_{1}) (u_{1} - 2)}) d u_{1}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $u_{1}$ dan $\frac{u_{1} - 4}{2 u_{1} (u_{1} - 2)}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} (u_{1} - 4)}{2 u_{1} (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} (u_{1} - 4)}{2 u_{1} (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - - \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + 1 \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Langkah 5.2

Kalikan $\int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$ dengan $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{u_{1} - 4}{u_{1} - 2} d u_{1}$

Langkah 7

Bagilah $u_{1} - 4$ dengan $u_{1} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$u_{1}$

$2$

$u_{1}$

$4$

Langkah 7.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $u_{1}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $u_{1}$ .

					$1$
	$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$

Langkah 7.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			+	$u_{1}$	-	$2$

Langkah 7.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $u_{1} - 2$

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			-	$u_{1}$	+	$2$

Langkah 7.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			-	$u_{1}$	+	$2$
					-	$2$

Langkah 7.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1}$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Langkah 11

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - (2 \int \frac{1}{u_{1} - 2} d u_{1}))$

Langkah 12

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Langkah 13

Biarkan $u_{2} = u_{1} - 2$ . Kemudian $d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Biarkan $u_{2} = u_{1} - 2$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Diferensialkan $u_{1} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 2]$

Langkah 13.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $u_{1} - 2$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Langkah 13.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Langkah 13.1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $- 2$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 13.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 13.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 14

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 (\ln (| u_{2} |) + C))$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan.

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} - 2 \ln (| u_{2} |)) + C$

Langkah 15.2

Tulis kembali $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} - 2 \ln (| u_{2} |)) + C$ sebagai $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$ .

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 15.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Untuk menuliskan $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 15.3.2

Gabungkan $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot 2}{2} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 15.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot 2 + u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 15.3.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 16

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + 1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 16.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $u_{1} - 2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| u_{1} - 2 |) + C$

Langkah 16.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + 1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x - 1 \cdot 1 + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Langkah 17.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x - 1 + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Langkah 17.3

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Langkah 17.4

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x - 1 |) + C$

Langkah 18

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} (2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1) - \ln (| x - 1 |) + C$