Kalkulus Contoh

$\int \sin^{5} (x) \cos^{2} (x) d x$

Langkah 1

Faktorkan $\sin^{4} (x)$ .

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Langkah 2.2

Tulis kembali ${\sin (x)}^{2 (2)}$ sebagai eksponensiasi.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Langkah 3

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sin^{2} (x)$ sebagai $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Langkah 4

Biarkan $u = \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

Langkah 6

Perluas ${(1 - u^{2})}^{2} u^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali ${(1 - u^{2})}^{2}$ sebagai $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) u^{2} d u$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$- \int (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

Langkah 6.3

Terapkan sifat distributif.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

Langkah 6.5

Terapkan sifat distributif.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

Langkah 6.6

Terapkan sifat distributif.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

Langkah 6.7

Terapkan sifat distributif.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} - u^{2} \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

Langkah 6.8

Pindahkan $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

Langkah 6.9

Pindahkan $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.10

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$- \int 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.11

Kalikan $u^{2}$ dengan $1$ .

$- \int u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.12

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \int u^{2} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.13

Buang faktor negatif.

$- \int u^{2} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.14

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \int u^{2} - u^{2 + 2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.15

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.16

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.17

Buang faktor negatif.

$- \int u^{2} - u^{4} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.18

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.19

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.20

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.21

Kalikan $u^{2}$ dengan $1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Langkah 6.22

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2 + 2} u^{2} d u$

Langkah 6.23

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4} u^{2} d u$

Langkah 6.24

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4 + 2} d u$

Langkah 6.25

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{6} d u$

Langkah 6.26

Kurangi $u^{4}$ dengan $- u^{4}$ .

$- \int u^{2} - 2 u^{4} + u^{6} d u$

Langkah 6.27

Susun kembali $- 2 u^{4}$ dan $u^{6}$ .

$- \int u^{2} + u^{6} - 2 u^{4} d u$

Langkah 6.28

Pindahkan $u^{2}$ .

$- \int u^{6} - 2 u^{4} + u^{2} d u$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- (\int u^{6} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{6}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Langkah 9

Karena $- 2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{2} d u)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Langkah 12.1.2

Gabungkan $\frac{1}{7}$ dan $u^{7}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Langkah 12.1.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

$- (\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}) + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{7} (x)}{7} - \frac{2 \cos^{5} (x)}{5} + \frac{\cos^{3} (x)}{3}) + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$- (\frac{1}{7} \cos^{7} (x) - \frac{2}{5} \cos^{5} (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + C$