Kalkulus Contoh

$\int_{- \frac{π}{4}}^{0} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \sec (x)$ . Kemudian $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \sec (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

Langkah 1.3.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

Langkah 1.3.3

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Langkah 1.3.4

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 1.3.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 1.3.5.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 1.3.5.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 1.3.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 1.3.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 1.3.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 1.3.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 1.3.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.3.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.3.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 1.3.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.3.6.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (0)$

Langkah 1.5

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Langkah 2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1}$

Langkah 3

Sederhanakan dengan membatalkan eksponen dengan akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi $\frac{1}{2} u^{2}$ pada $1$ dan pada $\sqrt{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Langkah 3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Langkah 3.2.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Langkah 3.3

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 3.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 3.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Langkah 3.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Langkah 3.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{1}$

Langkah 3.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2$

Langkah 3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2})$

Langkah 3.4.1.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2}{2}$

Langkah 3.4.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Langkah 3.4.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Langkah 3.4.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Langkah 3.4.1.3.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 3.4.2.2

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.4.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.4.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Langkah 3.4.2.4.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Langkah 3.4.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2}$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$- 0.5$