Kalkulus Contoh

$\int 3 t^{2} {(2 t^{3} + 8)}^{- 1} d t$

Langkah 1

Biarkan $u = 2 t^{3} + 8$ . Kemudian $d u = 6 t^{2} d t$ sehingga $\frac{1}{6} d u = t^{2} d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 2 t^{3} + 8$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 t^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3} + 8]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 t^{3} + 8$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t^{3}$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [8]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [8]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $8$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $8$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$6 t^{2} + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $6 t^{2}$ dan $0$ .

$6 t^{2}$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int 3 u^{- 1} \frac{1}{6} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $3$ .

$\int \frac{3}{6} u^{- 1} d u$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{3}{6}$ dan $u^{- 1}$ .

$\int \frac{3 u^{- 1}}{6} d u$

Langkah 2.3

Pindahkan $u^{- 1}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{3}{6 u} d u$

Langkah 2.4

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\int \frac{3 (1)}{6 u} d u$

Langkah 2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $6 u$ .

$\int \frac{3 (1)}{3 (2 u)} d u$

Langkah 2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{3 \cdot 1}{3 (2 u)} d u$

Langkah 2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Langkah 5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t^{3} + 8$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 t^{3} + 8 |) + C$