Kalkulus Contoh

$\int_{2}^{3} \frac{x}{{(x^{2} - 3)}^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2} - 3$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2} - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{2} - 3$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 3$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Langkah 1.3.2

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{2} - 3$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 3$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 9 - 3$

Langkah 1.5.2

Kurangi $3$ dengan $9$ .

$u_{upper} = 6$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 6$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{u^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u^{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Langkah 4.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{2 \cdot - 1} d u$

Langkah 4.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{- 2} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{6}$

Langkah 6

Evaluasi $- u^{- 1}$ pada $6$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{2} ((- 6^{- 1}) + 1^{- 1})$

Langkah 7

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1^{- 1})$

Langkah 8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + \frac{6}{6})$

Langkah 9.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 6}{6}$

Langkah 9.3

Tambahkan $- 1$ dan $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 6}$

Langkah 10.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$\frac{5}{12}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{5}{12}$

Bentuk Desimal:

$0.41\overline{6}$