Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x^{2} + 1}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ sebagai $u - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u - 1}$ sebagai ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.5

Sederhanakan.

$\int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.2

Kalikan $\frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u} \cdot 2} d u$

Langkah 2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt[3]{u}} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Langkah 4.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{3}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.3.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Langkah 4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{3}} d u$

Langkah 5

Perluas $(u - 1) u^{- \frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Langkah 5.2

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Langkah 5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Langkah 5.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Langkah 5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3 - 1}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Langkah 5.6

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{3}} - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{2}{3}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{2}{3}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C - \int u^{- \frac{1}{3}} d u)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{3}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C))$

Langkah 10

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}) + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Gabungkan $\frac{3}{5}$ dan ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}) + C$

Langkah 12.1.2

Gabungkan ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{2}) + C$

Langkah 12.1.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}) + C$

Langkah 12.2

Untuk menuliskan $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}) + C$

Langkah 12.3

Untuk menuliskan $- \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Langkah 12.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $10$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Kalikan $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Langkah 12.4.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Langkah 12.4.3

Kalikan $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{2}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{2 \cdot 5}) + C$

Langkah 12.4.4

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2}{10} - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10}) + C$

Langkah 12.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2 - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10} + C$

Langkah 12.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1

Faktorkan $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ dari $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} \cdot 2 - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1.1

Susun kembali pernyataan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1.1.1

Pindahkan ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{10} + C$

Langkah 12.6.1.1.2

Pindahkan ${(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}} - 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{10} + C$

Langkah 12.6.1.2

Faktorkan $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ dari $3 \cdot 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) - 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}{10} + C$

Langkah 12.6.1.3

Faktorkan $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ dari $- 3 \cdot 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) + 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 5)}{10} + C$

Langkah 12.6.1.4

Faktorkan $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ dari $3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}}) + 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 5)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} - 1 \cdot 5)}{10} + C$

Langkah 12.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{3}} - 5)}{10} + C$

Langkah 12.6.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.3.1

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 {(x^{2} + 1)}^{1} - 5)}{10} + C$

Langkah 12.6.3.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 (x^{2} + 1) - 5)}{10} + C$

Langkah 12.6.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 5)}{10} + C$

Langkah 12.6.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} + 2 - 5)}{10} + C$

Langkah 12.6.4

Kurangi $5$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{10} + C$

Langkah 12.7

Gabungkan.

$\frac{1 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3))}{2 \cdot 10} + C$

Langkah 12.8

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{2 \cdot 10} + C$

Langkah 12.9

Kalikan $2$ dengan $10$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} (2 x^{2} - 3)}{20} + C$