Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = a^{2} - x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = a^{2} - x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a^{2} - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $a^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 1.1.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $a^{2}$ dan $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Langkah 1.5

Kurangi $a^{2}$ dengan $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 2.2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Langkah 5

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

Langkah 7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $0$ dan pada $a^{2}$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.2.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 7.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 7.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 7.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

Langkah 7.3.3

Kurangi $\frac{2}{3} a^{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} a^{3})$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Gabungkan $a^{3}$ dan $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

Langkah 7.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Langkah 7.4.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Langkah 7.4.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.4.5

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{6}$

Langkah 7.4.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $a^{3}$ .

$\frac{2 \cdot a^{3}}{6}$

Langkah 7.4.7

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.7.1

Faktorkan $2$ dari $2 a^{3}$ .

$\frac{2 (a^{3})}{6}$

Langkah 7.4.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.4.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.4.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{a^{3}}{3}$

Langkah 7.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} a^{3}$