Kalkulus Contoh

$\int \cos^{-1} (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \cos^{-1} (x)$ dan $d v = 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \int x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

Langkah 2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \int - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\cos^{-1} (x) x - - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x + 1 \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 4.2

Kalikan $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ dengan $1$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 5.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 5.1.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 6.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 6.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\cos^{-1} (x) x - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\cos^{-1} (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 9

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 9.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 9.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 9.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 9.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 11

Tulis kembali $\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ sebagai $\cos^{-1} (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\cos^{-1} (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - x^{2}$ .

$\cos^{-1} (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$