Kalkulus Contoh

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} d x$

Langkah 1

Integral ini tidak dapat diselesaikan menggunakan substitusi-u. Mathway akan menggunakan metode lain.

Langkah 2

Biarkan $x = \sec (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ positif.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t)}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $\sec (t)$ dari $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) (\tan (t))) d t$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \tan (t) \tan (t) d t$

Langkah 4

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) d t$

Langkah 5

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) d t$

Langkah 6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Langkah 8

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 11

Karena turunan dari $\tan (t)$ adalah $\sec^{2} (t)$ , maka integral dari $\sec^{2} (t)$ adalah $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

$- t + \tan (t) + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $arcsec (x)$ .

$- arcsec (x) + \tan (arcsec (x)) + C$