Kalkulus Contoh

$\int_{- 1}^{1} \frac{5 r}{{(4 + r^{2})}^{2}} d r$

Langkah 1

Biarkan $u = 4 + r^{2}$ . Kemudian $d u = 2 r d r$ sehingga $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 4 + r^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d r}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 + r^{2}$ terhadap $r$ adalah $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Langkah 1.1.3

Karena $4$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $4$ terhadap $r$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 r$ .

$2 r$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $r$ di $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + {(- 1)}^{2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$u_{lower} = 5$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $r$ di $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 4 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$u_{upper} = 5$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{5}{u^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2} \cdot 2} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u^{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{2 u^{2}} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{5}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{5}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} \frac{1}{u^{2}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Langkah 4.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{2 \cdot - 1} d u$

Langkah 4.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{- 2} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} - u^{- 1}]_{5}^{5}$

Langkah 6

Evaluasi $- u^{- 1}$ pada $5$ dan pada $5$ .

$\frac{5}{2} ((- 5^{- 1}) + 5^{- 1})$

Langkah 7

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + 5^{- 1})$

Langkah 8

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

Langkah 9

Tambahkan $- \frac{1}{5}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0$

Langkah 10

Kalikan $\frac{5}{2}$ dengan $0$ .

$0$