Kalkulus Contoh

$\int \frac{x + 3}{{(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 3 x - 4$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 3 x - 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $3 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 9}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $4$ dan $9$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.5

Kalikan $\frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.6

Gabungkan.

$\int \frac{3 (\frac{u}{3} + \frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.7

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.8

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.9

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.10

Kalikan $\frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}} \cdot 3} d u$

Langkah 2.11

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\int \frac{u + 13}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{9}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{u + 13}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan $u^{\frac{3}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.2.2

Kalikan $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Langkah 4.2.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Langkah 4.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 5

Perluas $(u + 13) u^{- \frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{9} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.2

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{9} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{9} \int u^{1 - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.6

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{- 1}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

Langkah 5.7

Susun kembali $u^{\frac{- 1}{2}}$ dan $13 u^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{9} (\int 13 u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 8

Karena $13$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $13$ keluar dari integral.

$\frac{1}{9} (13 \int u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{u^{\frac{1}{2}}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x - 4$ .

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Untuk menuliskan $2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Langkah 13.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Kalikan ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1.1

Pindahkan ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 ({(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.1.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{1}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.2

Sederhanakan $2 {(3 x - 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x - 4)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.5

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x - 8}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.6

Kurangi $8$ dengan $- 26$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{6 x - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.7

Faktorkan $2$ dari $6 x - 34$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.7.1

Faktorkan $2$ dari $6 x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.7.2

Faktorkan $2$ dari $- 34$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) + 2 (- 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.3.7.3

Faktorkan $2$ dari $2 (3 x) + 2 (- 17)$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x - 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.4

Gabungkan.

$\frac{1 (2 (3 x - 17))}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 13.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 (3 x - 17)}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$