Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{2} x {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$u_{upper} = 5$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{5} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Gabungkan $u^{3}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{u^{3}}{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{3} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{5}$

Langkah 5

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\frac{1}{4} u^{4}$ pada $5$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 5^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 5.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 625 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 5.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $625$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Langkah 5.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4})$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{625 - 1}{4}$

Langkah 5.4.3.2

Kurangi $1$ dengan $625$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{624}{4}$

Langkah 5.4.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $624$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1

Faktorkan $4$ dari $624$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4}$

Langkah 5.4.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4 (1)}$

Langkah 5.4.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4 \cdot 1}$

Langkah 5.4.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{156}{1}$

Langkah 5.4.3.3.2.4

Bagilah $156$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 156$

Langkah 5.4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $156$ .

$\frac{156}{2}$

Langkah 5.4.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $156$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $156$ .

$\frac{2 \cdot 78}{2}$

Langkah 5.4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 78}{2 (1)}$

Langkah 5.4.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 78}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.4.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{78}{1}$

Langkah 5.4.4.2.2.4

Bagilah $78$ dengan $1$ .

$78$