Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{16 + r^{2}}} d r$

Langkah 1

Biarkan $u = 16 + r^{2}$ . Kemudian $d u = 2 r d r$ sehingga $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 16 + r^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d r}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $16 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [16 + r^{2}]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $16 + r^{2}$ terhadap $r$ adalah $\frac{d}{d r} [16] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [16] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Langkah 1.1.3

Karena $16$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $16$ terhadap $r$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 r$ .

$2 r$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $r$ di $u = 16 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 16 + 0^{2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 16 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $16$ dan $0$ .

$u_{lower} = 16$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $r$ di $u = 16 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 16 + 1^{2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 16 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $16$ dan $1$ .

$u_{upper} = 17$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 16$

$u_{upper} = 17$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{16}^{17} \frac{{\sqrt{u - 16}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${\sqrt{u - 16}}^{2}$ sebagai $u - 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u - 16}$ sebagai ${(u - 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{16}^{17} \frac{{({(u - 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.5

Sederhanakan.

$\int_{16}^{17} \frac{u - 16}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.2

Kalikan $\frac{u - 16}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{16}^{17} \frac{u - 16}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\int_{16}^{17} \frac{u - 16}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} \frac{u - 16}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} \frac{u - 16}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Perluas $(u - 16) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.2

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{1 - \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5.6

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{\frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int_{16}^{17} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{16}^{17} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{16}^{17} + \int_{16}^{17} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 8

Karena $- 16$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 16$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{16}^{17} - 16 \int_{16}^{17} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{16}^{17} - 16 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{16}^{17}))$

Langkah 10

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $17$ dan pada $16$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 17^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 16 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{16}^{17}))$

Langkah 10.2

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $17$ dan pada $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 17^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.3

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $17^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.4.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.4.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.4.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.4.1.4

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 64 - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.2.1

Kalikan $64$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - 64 (\frac{2}{3}) - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.4.2.2

Gabungkan $- 64$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 64 \cdot 2}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.4.2.3

Kalikan $- 64$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.4.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 10.4.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}))$

Langkah 10.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}))$

Langkah 10.4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{1}))$

Langkah 10.4.3.4

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4))$

Langkah 10.4.4

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8))$

Langkah 10.4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.5.1

Untuk menuliskan $- 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8) \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Langkah 10.4.5.2

Gabungkan $- 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8) \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

Langkah 10.4.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8) \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

Langkah 10.4.5.4

Kalikan $3$ dengan $- 16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}} - 48 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)}{3} - \frac{128}{3})$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}} - 48 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)}{3} - \frac{128}{3})$

Bentuk Desimal:

$0.06124186 \dots$