Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} x^{3} {(2 x^{4} + 1)}^{2} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 2 x^{4} + 1$ . Kemudian $d u = 8 x^{3} d x$ sehingga $\frac{1}{8} d u = x^{3} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 2 x^{4} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4} + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{4} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$8 x^{3} + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $8 x^{3}$ dan $0$ .

$8 x^{3}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x^{4} + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{4} + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x^{4} + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{4} + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$u_{upper} = 3$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{3} u^{2} \frac{1}{8} d u$

Langkah 2

Gabungkan $u^{2}$ dan $\frac{1}{8}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{u^{2}}{8} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{8} \int_{1}^{3} u^{2} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{3}$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\frac{1}{3} u^{3}$ pada $3$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 5.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $27$ .

$\frac{1}{8} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 5.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 5.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{8} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 5.3.2.2.4

Bagilah $9$ dengan $1$ .

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Langkah 5.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3})$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Untuk menuliskan $9$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Langkah 5.5.2

Gabungkan $9$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

Langkah 5.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

Langkah 5.5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

Langkah 5.5.4.2

Kurangi $1$ dengan $27$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{26}{3}$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Kalikan $\frac{1}{8}$ dengan $\frac{26}{3}$ .

$\frac{26}{8 \cdot 3}$

Langkah 5.6.2

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$\frac{26}{24}$

Langkah 5.6.3

Hapus faktor persekutuan dari $26$ dan $24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Faktorkan $2$ dari $26$ .

$\frac{2 (13)}{24}$

Langkah 5.6.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $24$ .

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

Langkah 5.6.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

Langkah 5.6.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{13}{12}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{13}{12}$

Bentuk Desimal:

$1.08\overline{3}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$1 \frac{1}{12}$