Kalkulus Contoh

$\int 5 x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 1.1.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int 5 {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ sebagai $- u + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{- u + 1}$ sebagai ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 5 {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int 5 {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.1.5

Sederhanakan.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 2.3

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\int - 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 5$ .

$\int \frac{- 5}{2} (- u + 1) \sqrt{u} d u$

Langkah 2.5

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{- 5}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot - 5}{2} (- u + 1) d u$

Langkah 2.6

Pindahkan $- 5$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{- 5 \cdot \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Langkah 2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int - \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u + 1) d u$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u) + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

Langkah 5.2

Susun kembali $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ dan $- 1$ .

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

Langkah 5.3

Susun kembali $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ dan $1$ .

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.4

Gabungkan $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ dan $u$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}} u}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.5

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$- \int - 1 \frac{5 (u^{\frac{1}{2}} u^{1})}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + 1}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.7

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1 + 2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.9

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.10

Kalikan $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ dengan $1$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.11

Susun kembali $- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ dan $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Langkah 6

Tulis kembali $- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ sebagai $- \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- (\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Langkah 8

Karena $\frac{5}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{5}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Langkah 11

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Langkah 12

Karena $\frac{5}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{5}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{5}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Langkah 14.2

Sederhanakan.

$- (\frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{3} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 14.3

Susun kembali suku-suku.

$- (\frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - x^{2}$ .

$- (\frac{5}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 16.2

Untuk menuliskan $- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Langkah 16.3

Gabungkan $- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Langkah 16.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Langkah 16.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{3} (5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$