Kalkulus Contoh

$\int \frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

Langkah 1.1.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$0 + 2 e^{2 x}$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $0$ dan $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Langkah 5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + e^{2 x} |) + C$