Kalkulus Contoh

$\int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 1.1.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ sebagai $- u + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{- u + 1}$ sebagai ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.1.5

Sederhanakan.

$\int (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 2.3

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int (- u + 1) (- \frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int (- u + 1) (\frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int (- u + 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$- \int - u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.2

Gabungkan $- u$ dan $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.3

Buang faktor negatif.

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{1}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.4

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{1}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.8

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5.9

Kalikan $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ dengan $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- (\int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- (- \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Langkah 11

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u)$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$

Langkah 14.2

Sederhanakan.

$- (- \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Langkah 15

Susun kembali suku-suku.

$- (- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Langkah 16

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Gabungkan ${(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Langkah 17.1.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Langkah 17.2

Untuk menuliskan $- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Langkah 17.3

Untuk menuliskan $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Langkah 17.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.1

Kalikan $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Langkah 17.4.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Langkah 17.4.3

Kalikan $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5}) + C$

Langkah 17.4.4

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15}) + C$

Langkah 17.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3 + {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

Langkah 17.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.6.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- \frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

Langkah 17.6.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Langkah 17.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Langkah 17.8

Faktorkan $- 1$ dari $5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Langkah 17.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Langkah 17.10

Tulis kembali $- (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ sebagai $- 1 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{- 1 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Langkah 17.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Langkah 17.12

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Langkah 17.13

Kalikan $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15}$ dengan $1$ .

$\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Langkah 18

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{15} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$