Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{2} - 3}{{(x + 1)}^{3}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{2} - 3}{u^{3}} d u$

Langkah 2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan $u^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) {(u^{3})}^{- 1} d u$

Langkah 2.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{3 \cdot - 1} d u$

Langkah 2.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3} d u$

Langkah 3

Perluas $({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali ${(u - 1)}^{2}$ sebagai $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int ((u - 1) (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Langkah 3.4

Terapkan sifat distributif.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1 - 3) u^{- 3} d u$

Langkah 3.5

Terapkan sifat distributif.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.6

Terapkan sifat distributif.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.7

Terapkan sifat distributif.

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.8

Terapkan sifat distributif.

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.9

Susun kembali $u$ dan $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.10

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.11

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{1 + 1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.13

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int u^{2} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.14

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{2 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.15

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\int u^{- 1} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.16

Buang faktor negatif.

$\int u^{- 1} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.17

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int u^{- 1} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.18

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{- 1} - u^{1 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.19

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.20

Buang faktor negatif.

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.21

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.22

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{1 - 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.23

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.24

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.25

Kalikan $u^{- 3}$ dengan $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.26

Kurangi $u^{- 2}$ dengan $- u^{- 2}$ .

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Langkah 3.27

Kurangi $3 u^{- 3}$ dengan $u^{- 3}$ .

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} - 2 u^{- 3} d u$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int u^{- 1} d u + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Langkah 5

Integral dari $u^{- 1}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Langkah 6

Karena $- 2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\ln (| u |) + C - 2 \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 3} d u$

Langkah 8

Karena $- 2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 3} d u$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 3}$ terhadap $u$ adalah $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Gabungkan $u^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Langkah 10.1.2

Pindahkan $u^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

Langkah 10.3

Tulis kembali $\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$ sebagai $\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$

Langkah 10.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - - \frac{1}{u^{2}} + C$

Langkah 10.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + 1 \frac{1}{u^{2}} + C$

Langkah 10.4.3

Kalikan $\frac{1}{u^{2}}$ dengan $1$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}} + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$\ln (| x + 1 |) + \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + C$