Kalkulus Contoh

$\int \frac{x}{\sqrt{x - 2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x - 2$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 1.1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{u + 2}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u + 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (u + 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u + 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int (u + 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int (u + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3

Perluas $(u + 2) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.2

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.6

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.7

Susun kembali $u^{\frac{1}{2}}$ dan $2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 2 u^{- \frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 8

Sederhanakan.

$4 u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 2$ .

$4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} + C$