Kalkulus Contoh

$\int \frac{2 x + 1}{\sqrt{x + 4}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x + 4$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x + 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 1.1.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{2 (u - 4) + 1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 (u - 4) + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (2 (u - 4) + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3

Perluas $(2 (u - 4) + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\int (2 u + 2 \cdot - 4 + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\int (2 u + 2 \cdot - 4) u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\int 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.4

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.8

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.9

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 8 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.10

Kalikan $u^{- \frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 8 u^{- \frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.11

Tambahkan $- 8 u^{- \frac{1}{2}}$ dan $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 7

Karena $- 7$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 7$ keluar dari integral.

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - 7 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - 7 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2

Tulis kembali $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ sebagai $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.3

Kalikan $- 7$ dengan $2$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 14 u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 4$ .

$\frac{4}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} - 14 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + C$