Kalkulus Contoh

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2} - 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2} - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int {\sqrt{u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tulis kembali ${\sqrt{u + 1}}^{2}$ sebagai $u + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u + 1}$ sebagai ${(u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\int {(u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int {(u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int {(u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.1.5

Sederhanakan.

$\int (u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{u}$ .

$\int (u + 1) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 2.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u + 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3.2

Gabungkan $u$ dan $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3.3

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3.7

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3.8

Kalikan $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ dengan $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9.2

Tulis kembali $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ sebagai $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$