Kalkulus Contoh

$\int x \sqrt{1 + x} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 + x$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 + x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int (u - 1) \sqrt{u} d u$

Langkah 2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3

Perluas $(u - 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.2

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.6

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 8

Sederhanakan.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x$ .

$\frac{2}{5} {(1 + x)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} {(1 + x)}^{\frac{3}{2}} + C$