Kalkulus Contoh

$\int 2 x \sqrt{x - 5} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x - 5$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x - 5$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 1.1.4

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int 2 (u + 5) \sqrt{u} d u$

Langkah 2

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int (u + 5) \sqrt{u} d u$

Langkah 3

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int (u + 5) u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4

Perluas $(u + 5) u^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4.2

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \int u^{1 + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$2 \int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4.6

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$2 \int u^{\frac{3}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4.7

Susun kembali $u^{\frac{3}{2}}$ dan $5 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int 5 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$2 (\int 5 u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Langkah 6

Karena $5$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$2 (5 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Langkah 9.1.2

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $u^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

$2 (\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 9.3

Susun kembali suku-suku.

$2 (\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 5$ .

$2 (\frac{10}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Gabungkan $\frac{10}{3}$ dan ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 11.1.2

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.2

Untuk menuliskan $\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Langkah 11.3

Untuk menuliskan $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Langkah 11.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Kalikan $\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Langkah 11.4.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Langkah 11.4.3

Kalikan $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

Langkah 11.4.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

Langkah 11.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Langkah 11.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Faktorkan $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ dari $10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1.1

Susun kembali pernyataan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1.1.1

Pindahkan ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Langkah 11.6.1.1.2

Pindahkan ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Langkah 11.6.1.2

Faktorkan $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ dari $10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Langkah 11.6.1.3

Faktorkan $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ dari $2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

Langkah 11.6.1.4

Faktorkan $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ dari $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

Langkah 11.6.2

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

Langkah 11.6.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.3.1

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{1})}{15} + C$

Langkah 11.6.3.2

Sederhanakan.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 (x - 5))}{15} + C$

Langkah 11.6.3.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x + 3 \cdot - 5)}{15} + C$

Langkah 11.6.3.4

Kalikan $3$ dengan $- 5$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x - 15)}{15} + C$

Langkah 11.6.4

Kurangi $15$ dengan $25$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$

Langkah 11.7

Kalikan $2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.7.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ .

$\frac{2 (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

Langkah 11.7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 ({(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

$\frac{4 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$