Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{3} (x + 1) e^{x^{2} + 2 x} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2} + 2 x$ . Kemudian $d u = (2 x + 2) d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2} + 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 x + 2$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{2} + 2 x$ .

$u_{lower} = 1^{2} + 2 \cdot 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 1$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$u_{lower} = 3$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{2} + 2 x$ .

$u_{upper} = 3^{2} + 2 \cdot 3$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 3$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$u_{upper} = 9 + 6$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $9$ dan $6$ .

$u_{upper} = 15$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 15$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{3}^{15} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{15} \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{15} e^{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{3}^{15}$

Langkah 5

Evaluasi $e^{u}$ pada $15$ dan pada $3$ .

$\frac{1}{2} (e^{15} - e^{3})$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2} \cdot (e^{15} - e^{3})$

Bentuk Desimal:

$1634498.64346759$