Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Langkah 1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 1.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Langkah 2

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi $\frac{1}{4} u^{4}$ pada $\frac{1}{2}$ dan pada $1$ .

$- ((\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{4}$ sebagai $4^{- 1}$ .

$- (4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- ({(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- (2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2.5

Tulis kembali $\frac{1}{2}$ sebagai $2^{- 1}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$- (2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2.7

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2.9

Kalikan eksponen dalam ${(2^{- 1})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.9.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2.9.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2.10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- (2^{- 2 - 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2.11

Kurangi $4$ dengan $- 2$ .

$- (2^{- 6} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2.12

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2^{6}} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.2.13

Naikkan $2$ menjadi pangkat $6$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Langkah 4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Langkah 4.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4})$

Langkah 4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Untuk menuliskan $- \frac{1}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{16})$

Langkah 4.4.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $64$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{4 \cdot 16})$

Langkah 4.4.2.2

Kalikan $4$ dengan $16$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{64})$

Langkah 4.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1 - 16}{64}$

Langkah 4.4.4

Kurangi $16$ dengan $1$ .

$- \frac{- 15}{64}$

Langkah 4.4.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{15}{64}$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Langkah 4.5.2

Kalikan $\frac{15}{64}$ dengan $1$ .

$\frac{15}{64}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{15}{64}$

Bentuk Desimal:

$0.234375$