Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{3} + 1$ . Kemudian $d u = 3 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{3} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$3 x^{2}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{3} + 1$ .

$u_{lower} = 1^{3} + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 1 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{3} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{2}^{9} 2 \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2}{3} \sqrt{u} d u$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $\sqrt{u}$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2 \sqrt{u}}{3} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{9}$

Langkah 6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $9$ dan pada $2$ .

$\frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3.2

Kalikan $2$ dengan $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $54$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $54$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3.3.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Gabungkan $2^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Langkah 6.4.2

Kalikan $2^{\frac{3}{2}}$ dengan $2$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan $2^{\frac{3}{2}}$ dengan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

Langkah 6.4.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

Langkah 6.4.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

Langkah 6.4.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

Langkah 6.4.2.4

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2}{3} \cdot (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Bentuk Desimal:

$10.74292127 \dots$