Kalkulus Contoh

$\int x^{3} \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int {\sqrt{u - 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tulis kembali ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ sebagai $u - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u - 1}$ sebagai ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int {(u - 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int {(u - 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.1.5

Sederhanakan.

$\int (u - 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{u}$ .

$\int (u - 1) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 2.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3.2

Gabungkan $u$ dan $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3.3

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 3.7

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 4

Tulis kembali $- 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ sebagai $- \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 11.2

Tulis kembali $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ sebagai $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 11.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 11.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 11.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 11.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 11.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{5} {(1 + x^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$