Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \sec (2 x)$ . Kemudian $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \sec (2 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sec (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\sec (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Langkah 1.1.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{lower} = \sec (2 \cdot 0)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Langkah 1.3.2

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{6})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 (3)})$

Langkah 1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Langkah 1.5.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Langkah 1.5.2

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{3})$ adalah $2$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 2

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{2}$

Langkah 3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi $\frac{1}{2} u_{2}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 3.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 - 1}{2}$

Langkah 3.4.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.5$