Kalkulus Contoh

$\int x^{2} \sqrt{x - 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Langkah 3

Biarkan $u_{2} = u_{1} + 1$ . Kemudian $d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{2} = u_{1} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Langkah 3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $u_{1} + 1$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Langkah 3.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $1$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 3.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Langkah 4

Biarkan $u_{3} = u_{2} - 1$ . Kemudian $d u_{3} = d u_{2}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{3} = u_{2} - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $u_{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 1]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $u_{2} - 1$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

Langkah 4.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , turunan dari $- 1$ terhadap $u_{2}$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$\int {(u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali ${(u_{3} + 1)}^{2}$ sebagai $(u_{3} + 1) (u_{3} + 1)$ .

$\int (u_{3} + 1) (u_{3} + 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$\int (u_{3} (u_{3} + 1) + 1 (u_{3} + 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1 + 1 (u_{3} + 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.4

Terapkan sifat distributif.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1 + 1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.5

Terapkan sifat distributif.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.6

Terapkan sifat distributif.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.7

Terapkan sifat distributif.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.8

Susun kembali $u_{3}$ dan $1$ .

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.9

Naikkan $u_{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.10

Naikkan $u_{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.13

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.14

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.15

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.16

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.17

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.17.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.17.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.18

Kalikan $u_{3}$ dengan $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.19

Naikkan $u_{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.20

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.21

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.22

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.23

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.24

Kalikan $u_{3}$ dengan $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.25

Naikkan $u_{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.26

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.27

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.28

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.29

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.30

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.31

Kalikan ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.32

Tambahkan ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ dan ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 5.33

Susun kembali ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ dan $2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 7

Karena $2$ konstan terhadap $u_{3}$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u_{3}$ adalah $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ terhadap $u_{3}$ adalah $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u_{3}$ adalah $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan.

$\frac{4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 12.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{4}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 13

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $u_{2} - 1$ .

$\frac{4}{5} {(u_{2} - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(u_{2} - 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(u_{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 13.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $u_{1} + 1$ .

$\frac{4}{5} {(u_{1} + 1 - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(u_{1} + 1 - 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(u_{1} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 13.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x - 1$ .

$\frac{4}{5} {(x - 1 + 1 - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(x - 1 + 1 - 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(x - 1 + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$