Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 + x^{3}$ . Kemudian $d u = 3 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 + x^{3}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $0$ dan $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $8$ .

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Langkah 6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $9$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $27$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3.2

Kalikan $2$ dengan $27$ .

$\frac{1}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $54$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $54$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.3.3.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 6.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} (18 - \frac{2}{3})$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Untuk menuliskan $18$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Langkah 6.5.2

Gabungkan $18$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Langkah 6.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Langkah 6.5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.4.1

Kalikan $18$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Langkah 6.5.4.2

Kurangi $2$ dengan $54$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3}$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{52}{3}$ .

$\frac{52}{3 \cdot 3}$

Langkah 6.6.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{52}{9}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{52}{9}$

Bentuk Desimal:

$5.\overline{7}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$5 \frac{7}{9}$