Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{3} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 1^{2} + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 1 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 3^{2} + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 9 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $9$ dan $1$ .

$u_{upper} = 10$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int_{2}^{10} \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{2}^{10}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $10$ dan pada $2$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| 10 |)) - \ln (| 2 |))$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

Langkah 5.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})}{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $10$ adalah $10$ .

$\frac{\ln (\frac{10}{| 2 |})}{2}$

Langkah 5.3.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{\ln (\frac{10}{2})}{2}$

Langkah 5.3.3

Bagilah $10$ dengan $2$ .

$\frac{\ln (5)}{2}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{\ln (5)}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.80471895 \dots$