Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{5 x + 4}{2 x + 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$u_{upper} = 3$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{2 u} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u} d u$

Langkah 4

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{u} + \frac{4}{u} d u$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 6

Karena $5$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 7.2

Gabungkan.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 7.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 7.6

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 7.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 7.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 7.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 7.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 7.7.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u - 1}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{u - 1}{u} d u) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 9

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{u}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 11

Batalkan faktor persekutuan dari $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{u}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 11.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 14

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 15

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3}))) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 16

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Langkah 17

Karena $4$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + 4 \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Langkah 18

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| u |)]_{1}^{3}))$

Langkah 19

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Langkah 20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} 2 x + 1]_{1}^{3} + \frac{5}{2} (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Langkah 20.2

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $2 x + 1]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3})}{2} + \frac{5}{2} (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Langkah 20.3

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3})}{2} - \frac{5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Langkah 20.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Langkah 20.5

Faktorkan $5$ dari $5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.5.1

Faktorkan $5$ dari $- 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Langkah 20.5.2

Faktorkan $5$ dari $5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Langkah 20.6

Untuk menuliskan $4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 20.7

Gabungkan $4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + \frac{4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2})$

Langkah 20.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

Langkah 20.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.9.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

Langkah 20.9.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

Langkah 20.9.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) + 8 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$

Langkah 20.9.4

Tambahkan $- 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ dan $8 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$

Langkah 20.10

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.10.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$ .

$\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2 \cdot 2}$

Langkah 20.10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{4}$

Langkah 21

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{4} (5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$