Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \sin (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (x) d x$

Langkah 2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$ dengan $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Langkah 4

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ dan $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Evaluasi $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ pada $\frac{3 π}{2}$ dan pada $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{3 π}{2} (- \cos (\frac{3 π}{2})) + \sin (\frac{3 π}{2})) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Gabungkan $\frac{3 π}{2}$ dan $\cos (\frac{3 π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 5.2.2.2

Gabungkan $\frac{π}{2}$ dan $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 5.2.2.3

Untuk menuliskan $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.2.2.4

Gabungkan $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \frac{- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.2.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.2.2.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.3.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.3.3

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 (0)}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.3.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- 0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.3.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 \cdot 1}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 5.3.8

Untuk menuliskan $\sin (\frac{3 π}{2})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 5.3.9

Gabungkan $\sin (\frac{3 π}{2})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \frac{\sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Langkah 5.3.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Langkah 5.3.11

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + 2 \cdot \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Langkah 5.3.12

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 π \cos (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Langkah 5.3.13

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Langkah 5.3.14

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Langkah 5.3.15

Faktorkan $- 1$ dari $2 \sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Langkah 5.3.16

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Langkah 5.3.17

Tulis kembali $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ sebagai $- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Langkah 5.3.18

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- \frac{3 π \cos (\frac{π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Langkah 5.4.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$- \frac{3 π \cdot 0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Langkah 5.4.3

Kalikan $3 π \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Kalikan $0$ dengan $3$ .

$- \frac{0 π + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Langkah 5.4.3.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Langkah 5.4.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- \frac{0 + 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

Langkah 5.4.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 (- 1 \cdot 1)}{2}$

Langkah 5.4.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \cdot - 1}{2}$

Langkah 5.4.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{0 + 2 + 2}{2}$

Langkah 5.4.8

Hapus faktor persekutuan dari $0 + 2 + 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.8.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 + 2}{2}$

Langkah 5.4.8.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2}{2}$

Langkah 5.4.8.3

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2}{2}$

Langkah 5.4.8.4

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2 \cdot 1}{2}$

Langkah 5.4.8.5

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot (0 + 1) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2}$

Langkah 5.4.8.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.8.6.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 (1)}$

Langkah 5.4.8.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.4.8.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{0 + 1 + 1}{1}$

Langkah 5.4.8.6.4

Bagilah $0 + 1 + 1$ dengan $1$ .

$- (0 + 1 + 1)$

Langkah 5.4.9

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$- (1 + 1)$

Langkah 5.4.10

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Langkah 5.4.11

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2$