Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{2} 2 x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = 1 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$u_{upper} = 5$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{2}^{5} u d u$

Langkah 2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{5}$

Langkah 3

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi $\frac{1}{2} u^{2}$ pada $5$ dan pada $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $25$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Langkah 3.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

Langkah 3.2.4

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{25}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Langkah 3.2.5

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 4}{2}$

Langkah 3.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Langkah 3.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Langkah 3.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{25}{2} + \frac{- 2}{1}$

Langkah 3.2.6.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{25}{2} - 2$

Langkah 3.2.7

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 3.2.8

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\frac{25 - 4}{2}$

Langkah 3.2.10.2

Kurangi $4$ dengan $25$ .

$\frac{21}{2}$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{21}{2}$

Bentuk Desimal:

$10.5$

Bentuk Bilangan Campuran:

$10 \frac{1}{2}$

Langkah 5