Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{x + 1} d x$

Langkah 1

Bagilah $x - 1$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x$

$1$

Langkah 1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	-	$1$

Langkah 1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$1$

Langkah 1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$

Langkah 1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$
					-	$2$

Langkah 1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int_{0}^{1} 1 - \frac{2}{x + 1} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{x + 1} d x$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{x + 1} d x$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x + 1} d x$

Langkah 5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 7

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 7.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 7.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 7.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 7.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Langkah 7.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 7.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Langkah 7.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{1} - 2 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $x$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(1) + 0 - 2 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Langkah 9.2

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $2$ dan pada $1$ .

$(1) + 0 - 2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 9.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1 - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - 2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$1 - 2 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Langkah 11.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$1 - 2 \ln (\frac{2}{1})$

Langkah 11.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$1 - 2 \ln (2)$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$1 - 2 \ln (2)$

Bentuk Desimal:

$- 0.38629436 \dots$

Langkah 13