Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Langkah 1.2.5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Langkah 1.2.5.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Langkah 1.2.5.2.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \tan (2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Langkah 1.3.4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Langkah 1.3.5

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Langkah 1.3.6

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Langkah 1.3.7

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot 0) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Langkah 1.3.7.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot 0) - 2 \cdot 0^{3}}$

Langkah 1.3.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{0}{3 \tan (0) - 2 \cdot 0^{3}}$

Langkah 1.3.8.1.2

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 2 \cdot 0^{3}}$

Langkah 1.3.8.1.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3}}$

Langkah 1.3.8.1.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

Langkah 1.3.8.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Langkah 1.3.8.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.8.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.9

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \tan (2 x) - 2 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{- x} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Langkah 3.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Langkah 3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Langkah 3.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Langkah 3.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Langkah 3.3.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Langkah 3.3.6

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Langkah 3.5

Tambahkan $- e^{- x}$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 \tan (2 x) - 2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Langkah 3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \tan (2 x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Langkah 3.7.2.2

Turunan dari $\tan (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Langkah 3.7.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Langkah 3.7.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Langkah 3.7.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Langkah 3.7.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Langkah 3.7.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (2 \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Langkah 3.7.7

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Langkah 3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Langkah 3.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 2 (3 x^{2})}$

Langkah 3.8.3

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 6 x^{2}}$

Langkah 3.9

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Langkah 5

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Langkah 6

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{- e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Langkah 7

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

Langkah 9

Pindahkan suku $6$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

Langkah 10

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

Langkah 11

Pindahkan suku $6$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Langkah 12

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (2 x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2}}$

Langkah 13

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Langkah 14

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 15

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- e^{0}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 15.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- e^{0}}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 15.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{- e^{0}}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Langkah 16

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Langkah 16.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{- 6 \cdot 0 + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Langkah 16.2.2

Kalikan $- 6$ dengan $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Langkah 16.2.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \sec^{2} (0)}$

Langkah 16.2.4

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \cdot 1^{2}}$

Langkah 16.2.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \cdot 1}$

Langkah 16.2.6

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6}$

Langkah 16.2.7

Tambahkan $0$ dan $6$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{6}$

Langkah 16.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 1}{6}$

Langkah 16.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{6}$