Kalkulus Contoh

$f (x) = - \frac{5}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x^{- 3} + 2 x^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{5}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x^{- 3} + 2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- \frac{5}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{5}{2} x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{5}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $5$ .

$\frac{- 10}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.2.6

Gabungkan $\frac{- 10}{2}$ dan $x$ .

$\frac{- 10 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 10 x$ .

$\frac{2 (- 5 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (- 5 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- 5 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 5 x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.2.7.2.4

Bagilah $- 5 x$ dengan $1$ .

$- 5 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- \frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{3}{2} x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- 5 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 3$ .

$- 5 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$- 5 x + 3 (\frac{3}{2}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.3.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{3}{2}$ .

$- 5 x + \frac{3 \cdot 3}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.3.5

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$- 5 x + \frac{9}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.3.6

Gabungkan $\frac{9}{2}$ dan $x^{- 4}$ .

$- 5 x + \frac{9 x^{- 4}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.3.7

Pindahkan $x^{- 4}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 2 (3 x^{2})$

Langkah 1.4.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 6 x^{2}$

Langkah 1.5

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 6 x^{2} - 5 x + \frac{9}{2 x^{4}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{2} - 5 x + \frac{9}{2 x^{4}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$12 x - 5 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $\frac{9}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{9}{2 x^{4}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{4}}$ sebagai ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{4}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 2.4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 2.4.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{4}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 2.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Langkah 2.4.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Langkah 2.4.5.2

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Langkah 2.4.6

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Langkah 2.4.7

Kalikan $x^{- 8}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.7.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Langkah 2.4.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Langkah 2.4.7.3

Kurangi $8$ dengan $3$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 5})$

Langkah 2.4.8

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{9}{2}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{- 5}$

Langkah 2.4.9

Kalikan $- 4$ dengan $9$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36}{2} x^{- 5}$

Langkah 2.4.10

Gabungkan $\frac{- 36}{2}$ dan $x^{- 5}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36 x^{- 5}}{2}$

Langkah 2.4.11

Pindahkan $x^{- 5}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36}{2 x^{5}}$

Langkah 2.4.12

Hapus faktor persekutuan dari $- 36$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.12.1

Faktorkan $2$ dari $- 36$ .

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Langkah 2.4.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.12.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{5}$ .

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{5})}$

Langkah 2.4.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Langkah 2.4.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$12 x - 5 + \frac{- 18}{x^{5}}$

Langkah 2.4.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$12 x - 5 - \frac{18}{x^{5}}$

Langkah 2.5

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$ .

$12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$