Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{16 + r^{2}}} d r$

Langkah 1

Integral ini tidak dapat diselesaikan menggunakan pengintegralan per bagian-bagian. Mathway akan menggunakan metode lain.

Langkah 2

Biarkan $r = 4 \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d r = 4 \sec^{2} (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \sec^{2} (t)$ positif.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 4^{2} \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $16$ dari $16$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $16$ dari $16 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.4

Faktorkan $16$ dari $16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 + \tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.5

Susun kembali suku-suku.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.6

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.7

Tulis kembali $16 \sec^{2} (t)$ sebagai ${(4 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 3.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4 \sec (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $4 \sec (t)$ dari $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Langkah 3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Langkah 3.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 (\tan (t))$ .

$\int_{0}^{0.24497866} 4^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 3.2.2.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$\int_{0}^{0.24497866} 64 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 4

Karena $64$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $64$ keluar dari integral.

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Langkah 5

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 6

Faktorkan $\tan^{2} (t)$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 7

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 8

Sederhanakan.

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Langkah 9

Biarkan $u = \sec (t)$ . Kemudian $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ sehingga $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = \sec (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Langkah 9.1.2

Turunan dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Langkah 9.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Langkah 9.3

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 9.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

Langkah 9.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

Langkah 9.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$64 \int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 + u^{2} d u$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$64 (\int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $- u]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ dan $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ .

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Langkah 13.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$64 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Langkah 14

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi $- u + \frac{u^{3}}{3}$ pada $\sec (0.24497866)$ dan pada $1$ .

$64 ((- \sec (0.24497866) + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 14.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Untuk menuliskan $- \sec (0.24497866)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \sec (0.24497866) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.2

Gabungkan $- \sec (0.24497866)$ dan $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3 + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Langkah 14.2.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Langkah 14.2.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Langkah 14.2.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Langkah 14.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Langkah 14.2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Langkah 14.2.10.2

Tambahkan $- 3$ dan $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 2}{3})$

Langkah 14.2.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - - \frac{2}{3})$

Langkah 14.2.12

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Langkah 14.2.13

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 \sec (0.24497866)$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 15.2

Faktorkan $- 1$ dari $\sec^{3} (0.24497866)$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 15.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 15.4

Tulis kembali $- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ sebagai $- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ .

$64 (\frac{- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 15.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Langkah 16

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Bentuk Desimal:

$0.06124186 \dots$

Langkah 17