Kalkulus Contoh

${(e^{x} + 1)}^{2}$

Langkah 1

Tulis ${(e^{x} + 1)}^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int {(e^{x} + 1)}^{2} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali ${(e^{x} + 1)}^{2}$ sebagai $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ .

$\int (e^{x} + 1) (e^{x} + 1) d x$

Langkah 4.2

Perluas $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int e^{x} (e^{x} + 1) + 1 (e^{x} + 1) d x$

Langkah 4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{x} + 1) d x$

Langkah 4.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Langkah 4.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int e^{x + x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Langkah 4.3.1.1.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Langkah 4.3.1.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Langkah 4.3.1.3

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Langkah 4.3.1.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 d x$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $e^{x}$ dan $e^{x}$ .

$\int e^{2 x} + 2 e^{x} + 1 d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Langkah 6

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 6.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Langkah 7

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Langkah 9

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Langkah 10

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{x} d x + \int d x$

Langkah 11

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + \int d x$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + x + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{x} + x + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

Langkah 15

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$