Kalkulus Contoh

$\sin (x^{3} y) = x^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{3} y)) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x^{3} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3} y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3} y$ .

$\cos (x^{3} y) \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Langkah 2.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + 3 \cdot y x^{2})$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y') + \cos (x^{3} y) (3 y x^{2})$

Langkah 2.6.2

Susun kembali suku-suku.

$x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y) = 3 x^{2}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ .

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y) = 3 x^{2}$

Langkah 5.2

Kurangkan $3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ dengan $x^{3} \cos (x^{3} y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ dengan $x^{3} \cos (x^{3} y)$ .

$\frac{x^{3} y' \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{3} y' \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' \cos (x^{3} y)}{\cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x^{3} y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' \cos (x^{3} y)}{\cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3} \cos (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{3}{x \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pisahkan pecahan.

$y' = \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{\cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.3.1.3

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x^{3} y)}$ ke $\sec (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{3}{x} \sec (x^{3} y) + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.3.1.4

Gabungkan $\frac{3}{x}$ dan $\sec (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.3.1.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.5.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.3.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.5.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3} \cos (x^{3} y)$ .

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))}$

Langkah 5.3.3.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))}$

Langkah 5.3.3.1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y \cos (x^{3} y)}{x \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.3.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x^{3} y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y \cos (x^{3} y)}{x \cos (x^{3} y)}$

Langkah 5.3.3.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y}{x}$

Langkah 5.3.3.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} - \frac{3 y}{x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} - \frac{3 y}{x}$