Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} d x$

Langkah 3

Konversikan dari $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ ke $\sec^{2} (5 x)$ .

$\int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} d x + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 5

Karena $\frac{6}{5}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{6}{5}$ keluar dari integral.

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 2}} d x + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 6

Biarkan $u_{1} = 4 x + 2$ . Kemudian $d u_{1} = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{1} = 4 x + 2$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $4 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 2]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 6.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 6.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 6.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 6.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 + 0$

Langkah 6.1.4.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$4$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 4} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 7.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{4 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}) + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{4 \cdot 5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 9.1.2

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$\frac{6}{20} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 9.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 (3)}{20} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 9.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $20$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 9.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 9.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 9.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{10} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 9.2.2

Pindahkan ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{3}{10} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 9.2.3

Kalikan eksponen dalam ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 9.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 9.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Langkah 11

Biarkan $u_{2} = 5 x$ . Kemudian $d u_{2} = 5 d x$ sehingga $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u_{2} = 5 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 11.1.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Langkah 11.1.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Langkah 12

Gabungkan $\sec^{2} (u_{2})$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{5} d u_{2}$

Langkah 13

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 14

Karena turunan dari $\tan (u_{2})$ adalah $\sec^{2} (u_{2})$ , maka integral dari $\sec^{2} (u_{2})$ adalah $\tan (u_{2})$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{5} (\tan (u_{2}) + C)$

Langkah 15

Sederhanakan.

$\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (u_{2}) + C$

Langkah 16

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 x + 2$ .

$\frac{3 {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (u_{2}) + C$

Langkah 16.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $5 x$ .

$\frac{3 {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$\frac{3}{5} {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$

Langkah 18

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$