Kalkulus Contoh

$\int 4 \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Langkah 1

Karena $4$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = \sin (θ)$ . Kemudian $d u_{1} = \cos (θ) d θ$ sehingga $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{1} = d θ$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = \sin (θ)$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$4 \int \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 3

Faktorkan $\cos^{4} (u_{1})$ .

$4 \int \cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 4

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$4 \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 4.2

Tulis kembali ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ sebagai eksponensiasi.

$4 \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 5

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\cos^{2} (u_{1})$ sebagai $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$4 \int {(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Langkah 6.1.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$4 \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Langkah 7

Perluas ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ sebagai $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$4 \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$4 \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Langkah 7.4

Terapkan sifat distributif.

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Langkah 7.5

Pindahkan ${u_{2}}^{2}$ .

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Langkah 7.6

Pindahkan ${u_{2}}^{2}$ .

$4 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 7.7

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$4 \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 7.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 7.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 7.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 7.11

Kalikan ${u_{2}}^{2}$ dengan $1$ .

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 7.12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Langkah 7.13

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$4 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Langkah 7.14

Kurangi ${u_{2}}^{2}$ dengan $- {u_{2}}^{2}$ .

$4 \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Langkah 7.15

Susun kembali $- 2 {u_{2}}^{2}$ dan ${u_{2}}^{4}$ .

$4 \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 7.16

Pindahkan $1$ .

$4 \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$4 (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{4}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Langkah 10

Karena $- 2$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2})$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${u_{2}}^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Langkah 13.1.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan ${u_{2}}^{5}$ .

$4 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

$4 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2}) + C$

Langkah 14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (u_{1})$ .

$4 (\frac{\sin^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \sin^{3} (u_{1})}{3} + \sin (u_{1})) + C$

Langkah 14.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\sin (θ)$ .

$4 (\frac{\sin^{5} (\sin (θ))}{5} - \frac{2 \sin^{3} (\sin (θ))}{3} + \sin (\sin (θ))) + C$

Langkah 15

Susun kembali suku-suku.

$4 (\frac{1}{5} \sin^{5} (\sin (θ)) - \frac{2}{3} \sin^{3} (\sin (θ)) + \sin (\sin (θ))) + C$