Kalkulus Contoh

$y = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gabungkan $\frac{4 π}{3}$ dan $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (\frac{4 π x}{3})]$

Langkah 1.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \sin (\frac{4 π x}{3})$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{4 π x}{3}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{4 π x}{3}$ .

$4 (\cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $\frac{4 π}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4 π x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (\frac{4 π x}{3}) (\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Gabungkan $\frac{4 π}{3}$ dan $4$ .

$\frac{4 π \cdot 4}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{16 π}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2.3

Gabungkan $\frac{16 π}{3}$ dan $\cos (\frac{4 π x}{3})$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot 1$

Langkah 1.3.4

Kalikan $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $\frac{16 π}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{16 π}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{4 π x}{3})]$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{4 π x}{3}))$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{4 π x}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{4 π x}{3}))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{4 π x}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Gabungkan $\frac{16 π}{3}$ dan $\sin (\frac{4 π x}{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3}$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{4 π}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4 π x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $\frac{4 π}{3}$ dengan $\frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 π (16 π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $16$ dengan $4$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π (π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.4

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.5

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - \frac{64 π^{1 + 1} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.7.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot 1$

Langkah 2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} = 0$

Langkah 4

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

Langkah 5

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi setiap suku pada $16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ dengan $16 π$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Bagilah setiap suku di $16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ dengan $16 π$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

Langkah 5.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

Langkah 5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

Langkah 5.1.2.2.2

Bagilah $\cos (\frac{4 π x}{3})$ dengan $1$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{16 π}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1

Faktorkan $16$ dari $0$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 π}$

Langkah 5.1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.2.1

Faktorkan $16$ dari $16 π$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 (π)}$

Langkah 5.1.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 \cdot 0}{16 π}$

Langkah 5.1.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{π}$

Langkah 5.1.3.2

Bagilah $0$ dengan $π$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

Langkah 5.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$\frac{4 π x}{3} = \arccos (0)$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$

Langkah 5.4

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 5.5

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Sederhanakan $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 5.5.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 5.5.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1.2.1

Faktorkan $4 π$ dari $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 5.5.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 5.5.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Sederhanakan $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1.1

Faktorkan $π$ dari $4 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 5.5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 5.5.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.5.2.1.2

Kalikan $\frac{3}{4}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 \cdot 2}$

Langkah 5.5.2.1.3

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$x = \frac{3}{8}$

Langkah 5.6

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$\frac{4 π x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 5.7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 5.7.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.1

Sederhanakan $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 5.7.2.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 5.7.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.1.2.1

Faktorkan $4 π$ dari $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 5.7.2.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 5.7.2.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Langkah 5.7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1

Sederhanakan $\frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 5.7.2.2.1.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 5.7.2.2.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 5.7.2.2.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 5.7.2.2.1.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Langkah 5.7.2.2.1.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1.4.1.1

Faktorkan $π$ dari $4 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{3 π}{2}$

Langkah 5.7.2.2.1.4.1.2

Faktorkan $π$ dari $3 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Langkah 5.7.2.2.1.4.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Langkah 5.7.2.2.1.4.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2}$

Langkah 5.7.2.2.1.4.2

Kalikan $\frac{3}{4}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Langkah 5.7.2.2.1.4.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1.4.3.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$x = \frac{9}{4 \cdot 2}$

Langkah 5.7.2.2.1.4.3.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$x = \frac{9}{8}$

Langkah 5.8

Penyelesaian untuk persamaan $\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3}{8}, \frac{9}{8}$

Langkah 6

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3}{8}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{3}{8})}{3})}{9}$

Langkah 7

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Gabungkan $\frac{3}{8}$ dan $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

Langkah 7.1.2

Gabungkan $\frac{3 \cdot 4}{8}$ dan $π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

Langkah 7.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{12 π}{8}}{3})}{9}$

Langkah 7.2.2

Kurangi pernyataan $\frac{12 π}{8}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $12 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{8}}{3})}{9}$

Langkah 7.2.2.2

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

Langkah 7.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

Langkah 7.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

Langkah 7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Langkah 7.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Langkah 7.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Langkah 7.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{9}$

Langkah 7.3.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- \frac{64 π^{2} \cdot 1}{9}$

Langkah 7.3.4

Kalikan $64$ dengan $1$ .

$- \frac{64 π^{2}}{9}$

Langkah 8

$x = \frac{3}{8}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3}{8}$ adalah maksimum lokal

Langkah 9

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3}{8}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{3}{8}))$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Faktorkan $4$ dari $4 π$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{8})$

Langkah 9.2.1.2

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{4 (2)})$

Langkah 9.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2})$

Langkah 9.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

Langkah 9.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

Langkah 9.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 9.2.3

Gabungkan $π$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 9.2.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \cdot 1$

Langkah 9.2.5

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4$

Langkah 9.2.6

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$y = 4$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{9}{8}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{9}{8})}{3})}{9}$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Gabungkan $\frac{9}{8}$ dan $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

Langkah 11.1.2

Gabungkan $\frac{9 \cdot 4}{8}$ dan $π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

Langkah 11.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $9$ dengan $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{36 π}{8}}{3})}{9}$

Langkah 11.2.2

Kurangi pernyataan $\frac{36 π}{8}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $36 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{8}}{3})}{9}$

Langkah 11.2.2.2

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

Langkah 11.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

Langkah 11.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

Langkah 11.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Langkah 11.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $9 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Langkah 11.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Langkah 11.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

Langkah 11.3.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- \frac{64 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

Langkah 11.3.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- \frac{64 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Langkah 11.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{64 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Langkah 11.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $64$ .

$- \frac{- 64 π^{2}}{9}$

Langkah 11.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{64 π^{2}}{9}$

Langkah 11.5

Kalikan $- - \frac{64 π^{2}}{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{64 π^{2}}{9}$

Langkah 11.5.2

Kalikan $\frac{64 π^{2}}{9}$ dengan $1$ .

$\frac{64 π^{2}}{9}$

Langkah 12

$x = \frac{9}{8}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{9}{8}$ adalah minimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{9}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{9}{8}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{9}{8}))$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1

Faktorkan $4$ dari $4 π$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{8})$

Langkah 13.2.1.2

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{4 (2)})$

Langkah 13.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{9}{4 \cdot 2})$

Langkah 13.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{9}{2})$

Langkah 13.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (3)}{2})$

Langkah 13.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{2})$

Langkah 13.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{3}{2})$

Langkah 13.2.3

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Langkah 13.2.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Langkah 13.2.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 13.2.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 13.2.7

Kalikan $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \cdot - 1$

Langkah 13.2.7.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{9}{8}) = - 4$

Langkah 13.2.8

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$y = - 4$

Langkah 14

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$ .

$(\frac{3}{8}, 4)$ adalah maksimum lokal

$(\frac{9}{8}, - 4)$ adalah minimum lokal

Langkah 15