Kalkulus Contoh

$- 3 y - x = 4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (- 3 y - x) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 3 y - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 y$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- 3 y' + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 y' - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 y' - 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 3 y' - 1$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$- 1 - 3 y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 y^{3} + 2 y^{2} + 3 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Langkah 3.2.4

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$12 y^{2} y' + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Langkah 3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$12 y^{2} y' + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Langkah 3.3.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 (3 x^{2})$

Langkah 3.4.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 9 x^{2}$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 1 - 3 y' = 9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $y'$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y' = - 1 - 3 y'$

Langkah 5.2

Tambahkan $3 y'$ ke kedua sisi persamaan.

$9 x^{2} + 12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y' = - 1$

Langkah 5.3

Kurangkan $9 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

Langkah 5.4

Faktorkan $y'$ dari $12 y^{2} y' + 4 y y' + 3 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $12 y^{2} y'$ .

$y' (12 y^{2}) + 4 y y' + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y'$ dari $4 y y'$ .

$y' (12 y^{2}) + y' (4 y) + 3 y' = - 1 - 9 x^{2}$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $y'$ dari $3 y'$ .

$y' (12 y^{2}) + y' (4 y) + y' \cdot 3 = - 1 - 9 x^{2}$

Langkah 5.4.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (12 y^{2}) + y' (4 y)$ .

$y' (12 y^{2} + 4 y) + y' \cdot 3 = - 1 - 9 x^{2}$

Langkah 5.4.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (12 y^{2} + 4 y) + y' \cdot 3$ .

$y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$ dengan $12 y^{2} + 4 y + 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (12 y^{2} + 4 y + 3) = - 1 - 9 x^{2}$ dengan $12 y^{2} + 4 y + 3$ .

$\frac{y' (12 y^{2} + 4 y + 3)}{12 y^{2} + 4 y + 3} = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12 y^{2} + 4 y + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (12 y^{2} + 4 y + 3)}{12 y^{2} + 4 y + 3} = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 1}{12 y^{2} + 4 y + 3} + \frac{- 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 1 - 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Langkah 5.5.3.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Langkah 5.5.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 9 x^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (9 x^{2})}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Langkah 5.5.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (9 x^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + 9 x^{2})}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Langkah 5.5.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{1 + 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + 9 x^{2}}{12 y^{2} + 4 y + 3}$