Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \sin (- x) + 3 x}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Langkah 1.2.5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Langkah 1.2.5.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Langkah 1.2.5.2.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + 3 x}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \sin (- x) + lim_{x \to 0} 3 x}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \sin (- x) + lim_{x \to 0} 3 x}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{3 \sin (lim_{x \to 0} - x) + lim_{x \to 0} 3 x}$

Langkah 1.3.4

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{3 \sin (- lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 x}$

Langkah 1.3.5

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{3 \sin (- lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.3.6

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{3 \sin (0) + 3 lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.3.6.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{3 \sin (0) + 3 \cdot 0}$

Langkah 1.3.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

Langkah 1.3.7.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + 3 \cdot 0}$

Langkah 1.3.7.1.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Langkah 1.3.7.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.7.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.8

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \sin (- x) + 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{- x} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Langkah 3.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Langkah 3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Langkah 3.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Langkah 3.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Langkah 3.3.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Langkah 3.3.6

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Langkah 3.5

Tambahkan $- e^{- x}$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x) + 3 x]}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 \sin (- x) + 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 \sin (- x)] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \sin (- x)] + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \sin (- x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \sin (- x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\sin (- x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \frac{d}{d x} [\sin (- x)] + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.7.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.7.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (- x) \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.7.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (- x) (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.7.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (- x) (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.7.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\cos (- x) \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.7.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\cos (- x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (- 1 \cos (- x)) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.7.7

Tulis kembali $- 1 \cos (- x)$ sebagai $- \cos (- x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (- \cos (- x)) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.7.8

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 \cos (- x) + \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 \cos (- x) + 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 \cos (- x) + 3 \cdot 1}$

Langkah 3.8.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 \cos (- x) + 3}$

Langkah 3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 - 3 \cos (- x)}$

Langkah 3.9.2

Karena $\cos (- x)$ adalah sebuah fungsi genap, tulis kembali $\cos (- x)$ sebagai $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 - 3 \cos (x)}$

Langkah 4

Karena pembilangnya negatif dan penyebut $3 - 3 \cos (x)$ mendekati nol dan lebih besar dari nol untuk $x$ mendekati $0$ di kedua sisi, fungsinya menurun tanpa batas.

$- \infty$