Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} x \cdot 7^{x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = 7^{x}$ .

$x (\frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{\ln (7)}$ dan $7^{x}$ .

$x \frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ .

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{\ln (7)}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{\ln (7)}$ keluar dari integral.

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (7)} \int_{0}^{1} 7^{x} d x)$

Langkah 4

Integral dari $7^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ .

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (7)} \frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}$ dan $\frac{1}{\ln (7)}$ .

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}}{\ln (7)}$

Langkah 5.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Evaluasi $\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\frac{1 \cdot 7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}}{\ln (7)}$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\frac{1 \cdot 7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1 \cdot 7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Langkah 5.2.3.2

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Langkah 5.2.3.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Langkah 5.2.3.4

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Langkah 5.2.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{7 + 0}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Langkah 5.2.3.6

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Langkah 5.2.3.7

Evaluasi eksponennya.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7}{\ln (7)} - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Langkah 5.2.3.8

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7}{\ln (7)} - \frac{1}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Langkah 5.2.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7 - 1}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Langkah 5.2.3.10

Kurangi $1$ dengan $7$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{6}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Langkah 5.2.3.11

Tulis kembali $\frac{\frac{6}{\ln (7)}}{\ln (7)}$ sebagai hasil kali.

$\frac{7}{\ln (7)} - (\frac{6}{\ln (7)} \cdot \frac{1}{\ln (7)})$

Langkah 5.2.3.12

Kalikan $\frac{6}{\ln (7)}$ dengan $\frac{1}{\ln (7)}$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln (7) \ln (7)}$

Langkah 5.2.3.13

Naikkan $\ln (7)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{1} (7) \ln (7)}$

Langkah 5.2.3.14

Naikkan $\ln (7)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{1} (7) \ln^{1} (7)}$

Langkah 5.2.3.15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{{\ln (7)}^{1 + 1}}$

Langkah 5.2.3.16

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{2} (7)}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{2} (7)}$

Bentuk Desimal:

$2.01273935 \dots$

Langkah 7