Kalkulus Contoh

$e^{x y} + \ln (x y) = 3$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (e^{x y} + \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x y} + \ln (x y)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.3.1.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x y$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.3.2

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 2.3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$e^{x y} (x y' + y) + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Langkah 2.4.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.4.3.2

Gabungkan $\frac{x}{x y}$ dan $y'$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Langkah 2.4.3.4

Gabungkan $\frac{1}{x y}$ dan $y$ .

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Langkah 2.4.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Langkah 2.4.3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Langkah 2.4.4

Susun kembali suku-suku.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Langkah 2.4.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x y} x y' + e^{x y} y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$ .

$x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Langkah 3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, 1, y, x, 1$

Langkah 5.1.2

Karena $1, 1, y, x, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $1, 1, 1, 1, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{1}, x^{1}$ .

Langkah 5.1.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 5.1.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 5.1.5

KPK dari $1, 1, 1, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1$

Langkah 5.1.6

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.1.7

Faktor untuk $x^{1}$ adalah $x$ itu sendiri.

$x^{1} = x$

$x$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.1.8

KPK dari $y^{1}, x^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y x$

Langkah 5.2

Kalikan setiap suku pada $x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ dengan $y x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan setiap suku dalam $x e^{x y} y' + y e^{x y} + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ dengan $y x$ .

$x e^{x y} y' (y x) + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$x \cdot x e^{x y} y' y + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y e^{x y} (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Pindahkan $y$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y \cdot y e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.4.1

Faktorkan $x$ dari $y x$ .

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + y = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $x^{2} e^{x y} y' y + y^{2} e^{x y} x + y' x + y$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0 (y x)$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan $0 (y x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Kalikan $y$ dengan $0$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0 x$

Langkah 5.2.3.1.2

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$x^{2} y' y e^{x y} + y^{2} x e^{x y} + y' x + y = 0$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Kurangkan $y^{2} x e^{x y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' y e^{x y} + y' x + y = - y^{2} x e^{x y}$

Langkah 5.3.1.2

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' y e^{x y} + y' x = - y^{2} x e^{x y} - y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $x y'$ dari $x^{2} y' y e^{x y} + y' x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $x y'$ dari $x^{2} y' y e^{x y}$ .

$x y' (x y e^{x y}) + y' x = - y^{2} x e^{x y} - y$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $x y'$ dari $y' x$ .

$x y' (x y e^{x y}) + x y' \cdot 1 = - y^{2} x e^{x y} - y$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' (x y e^{x y}) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$ dengan $x (x y e^{x y} + 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $x y' (x y e^{x y} + 1) = - y^{2} x e^{x y} - y$ dengan $x (x y e^{x y} + 1)$ .

$\frac{x y' (x y e^{x y} + 1)}{x (x y e^{x y} + 1)} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (x y e^{x y} + 1)}{x (x y e^{x y} + 1)} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x y e^{x y} + 1)}{x y e^{x y} + 1} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x y e^{x y} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x y e^{x y} + 1)}{x y e^{x y} + 1} = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- y^{2} x e^{x y}}{x (x y e^{x y} + 1)} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} + \frac{- y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x y e^{x y} + 1) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.3.1

Kalikan $\frac{y^{2} e^{x y}}{x y e^{x y} + 1}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y} x}{(x y e^{x y} + 1) x} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x y e^{x y} + 1) x$ .

$y' = - \frac{y^{2} e^{x y} x}{x (x y e^{x y} + 1)} - \frac{y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y^{2} e^{x y} x - y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.5

Faktorkan $y$ dari $- y^{2} e^{x y} x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{2} e^{x y} x$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x) - y}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.5.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x) + y \cdot - 1}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.5.3

Faktorkan $y$ dari $y (- y e^{x y} x) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (- y e^{x y} x - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.6

Susun kembali suku-sukunya.

$y' = \frac{y (- x y e^{x y} - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.7

Hapus faktor persekutuan dari $- x y e^{x y} - 1$ dan $x y e^{x y} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.7.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x y e^{x y}$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y}) - 1)}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.7.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y}) - 1 (1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.7.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x y e^{x y}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.7.4

Tulis kembali $- (x y e^{x y} + 1)$ sebagai $- 1 (x y e^{x y} + 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.7.5

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y (- 1 (x y e^{x y} + 1))}{x (x y e^{x y} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.7.6

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Langkah 5.3.3.3.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.8.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Langkah 5.3.3.3.8.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y}{x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$