Kalkulus Contoh

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Langkah 1

Tulis $(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ sebagai fungsi.

$f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Langkah 2

Fungsi $F (t)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (t) = \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t d t$

Langkah 4

Karena $d$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $d$ keluar dari integral.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) t d t$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9}) t + 4 t^{3} t d t$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$d \int 10 t^{- 3} t + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Langkah 5.3

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$d \int 10 (t^{- 3} t^{1}) + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Langkah 5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$d \int 10 t^{- 3 + 1} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Langkah 5.5

Tambahkan $- 3$ dan $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Langkah 5.6

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 (t^{- 9} t^{1}) + 4 t^{3} t d t$

Langkah 5.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9 + 1} + 4 t^{3} t d t$

Langkah 5.8

Tambahkan $- 9$ dan $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3} t d t$

Langkah 5.9

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 (t^{3} t^{1}) d t$

Langkah 5.10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3 + 1} d t$

Langkah 5.11

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{4} d t$

Langkah 5.12

Pindahkan $12 t^{- 8}$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 4 t^{4} + 12 t^{- 8} d t$

Langkah 5.13

Susun kembali $10 t^{- 2}$ dan $4 t^{4}$ .

$d \int 4 t^{4} + 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} d t$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$d (\int 4 t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Langkah 7

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$d (4 \int t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{4}$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Langkah 9

Karena $10$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $10$ keluar dari integral.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 \int t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{- 2}$ terhadap $t$ adalah $- t^{- 1}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + \int 12 t^{- 8} d t)$

Langkah 11

Karena $12$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 \int t^{- 8} d t)$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{- 8}$ terhadap $t$ adalah $- \frac{1}{7} t^{- 7}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $t^{5}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Langkah 13.1.2

Gabungkan $t^{- 7}$ dan $\frac{1}{7}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{t^{- 7}}{7} + C))$

Langkah 13.1.3

Pindahkan $t^{- 7}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7 t^{7}} + C))$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

$d (\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Langkah 13.3

Susun kembali suku-suku.

$d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ .

$F (t) =$ $d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$